Сайт учителя математики

Из опыта работы

Моделирование и формализация

Моделирование как метод познания

Модель, моделирование

У американского писателя-фантаста Рея Брэдбери есть рассказ "И грянул гром". В нем повествуется о фирме, организующей путешествия на 60 миллионов лет в прошлое. Все посетители прошлого должны передвигаться только по специально проложенной тропе, ибо один неосторожный шаг уже способен нарушить последующую Историю. Устами одного из служащих фирмы это описано так:

"Допустим, мы случайно убили здесь мышь. Это значит, что всех будущих потомков этой мыши не будет... Вы уничтожите не одну, а миллион мышей... А как с лисами, для питания которых нужны были именно эти мыши? Не хватит десяти мышей - умрет одна лиса. Десятью лисами меньше - подохнет от голода лев... И вот итог: через 59 миллионов лет пещерный человек, один из дюжины, населяющей весь мир, выходит на охоту за кабаном или саблезубым тигром. Но вы, раздавив одну мышь, раздавили всех тигров в этих местах. И пещерный чело-век умирает от голода... Это смерть миллиарда его потомков. Может быть, Рим не появится на своих семи холмах..."

Напрасно один из героев рассказа умолял вернуть его на 60 миллионов лет назад, чтобы оживить случайно раздавленную им бабочку. Он оказался уже совсем в иной Истории и погиб.

Это, конечно, всего лишь фантастика, сказка, смоделированная автором ситуация, но в ней намек всем нам, как осторожны должны мы быть в нашем общении с природой. Как часто наши решения оказываются непродуманными: то мы вдруг решаем уничтожить всех волков, якобы приносящих только вред, то заселяем весь материк кроликами (так случилось в Австралии) и потом не знаем, как от них избавиться. Каждый раз хочется вернуться в тот роковой миг и сделать более пра-вильный, как нам кажется, шаг. Но это, увы, невозможно - нет такой машины времени, которая перенесла бы нас в прошлое.

Есть, однако, "машина времени", позволяющая заглянуть в будущее, проанализировать, смоделировать процесс, ситуацию, - это наука.

Рассмотрим пример из жизни. В 1870 г. английское Адмиралтейство спустило на воду новый броненосец "Кэптен". Корабль вышел в море и перевернулся. Погиб корабль, погибли 523 человека.

Это было совершенно неожиданно для всех. Для всех, кроме одного человека. Им был английский ученый-кораблестроитель В. Рид, который предварительно провел исследования на модели броненосца и установил, что корабль опрокинется даже при небольшом волнении. Но ученому, проделывающему какие-то "несерьезные" опыты с "игрушкой", не поверили лорды из Адмиралтейства. И случилось непоправимое.

С различными моделями мы сталкиваемся еще в раннем детстве: игрушечный автомобиль, самолет или кораблик для многих были любимыми игрушками, равно как и плюшевый медвежонок или кукла. Дети часто моделируют (играют в кубики, обыкновенная палка им заменяет коня и т. д.).

В развитии ребенка, в процессе познания им окружающего мира такие игруш-ки, являющиеся, по существу, моделями реальных объектов, играют важную роль. В подростковом возрасте для многих увлечение авиамоделированием, судомодели-рованием, собственноручным созданием игрушек, похожих на реальные объекты, оказывает влияние            на выбор жизненного    пути.

Модели и моделирование используются человечеством давно. По сути, именно модели и модельные отношения обусловили появление разговорных языков, письменности, графики. Наскальные изображения наших предков, затем картины и книги - это модельные, информационные формы передачи знаний об окружающем мире последующим поколениям.

Попробуем разобраться в том, что такое модель.

Казалось бы, что общего между игрушечным корабликом и рисунком на экране компьютера, изображающим сложную математическую абстракцию? И все же общее есть: и в том, и в другом случае мы имеем образ реального объекта, представляющий собой "заместитель" некоторого оригинала, воспроизводящий оригинал с той или иной степенью достоверности или детализации. Другими словами: модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.

Практически во всех науках о природе (живой и неживой) и обществе постро-ение и использование моделей являются мощным орудием познания. Реальные объек-ты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения является такой: построить модель, отображающую лишь какую-то грань реальности и потому несравнимо более простую, чем эта реальность, и исследовать сначала эту модель. Многовековой опыт развития науки доказал на практике пло-дотворность такого подхода. Модель - неоценимый и бесспорный помощник ин-женеров и ученых.

Приведем несколько примеров, поясняющих, что такое модель.

Архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Это модель здания.

Для того чтобы объяснить, как функционирует система кровообращения, лектор демонстрирует плакат со схемой, на которой стрелочками изображены направления движения крови. Это модель функционирования системы кровообращения.

На стене висит картина, изображающая яблоневый сад в цвету. Это модель яблоневого сада.

Литературный жанр, такой, как басня или притча, имеет непосредственное отношение к понятию модели, поскольку смысл этого жанра состоит в переносе отношений между людьми на отношения между животными.

( Предложить учащимся самим привести примеры моделей.)

Попытаемся понять, какова роль моделей в приведенных примерах.

Конечно, архитектор мог бы построить здание без предварительных экспериментов с кубиками. Но он не уверен, что здание будет выглядеть достаточно хорошо. Если оно окажется некрасивым, то многие годы будет немым укором своему создателю. Лучше уж поэкспериментировать с кубиками.

Разумеется, лектор мог бы воспользоваться для демонстрации подробным анатомическим атласом. Но подобная степень детализации ему совершенно не нужна при изучении системы кровообращения. Более того, она мешает изучению, так как не дает сосредоточиться на главном. Гораздо эффективнее воспользоваться плакатом.

Естественно, гуляя в благоухающем яблоневом саду, можно получить богатей-шие эмоциональные впечатления. Но если мы живем на Крайнем Севере и у нас нет возможности увидеть яблоневый сад в цвету, можно посмотреть на картину и представить этот сад.

Во всех перечисленных примерах имеет место сопоставление некоторого объекта с другим, его заменяющим: реальное здание - постройка из кубиков; система кровообращения - схема на плакате; яблоневый сад - картина, его изображающая.

Итак, дадим следующее определение модели:

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты этого оригинала.

Или можно сказать другими словами: модель - это упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.

Модель позволяет научиться правильно управлять объектом посредством апробации различных вариантов управления на модели этого объекта. Экспериментировать в этих целях с реальным объектом в лучшем случае бывает неудобно, а как правило, просто вредно или вообще невозможно в силу ряда причин (большой продолжительности эксперимента во времени, риска привести объект в нежелательное и необратимое состояние и т. п.)

Итак, сделаем выводы: модель необходима, для того чтобы:

 понять, как устроен конкретный объект - каковы его структура, основные
свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

 научиться управлять объектом или процессом и определять наилучшие спосо-бы управления при заданных целях и критериях (оптимизация);

 прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

Никакая модель не может заменить само явление, но при решении задачи, когда нас интересуют определенное свойство изучаемого процесса или явления, модель оказывается полезным, а подчас и единственным инструментом исследования, познания.

Моделированием называется как процесс построения модели, так и процесс изучения строения и свойств оригинала с помощью построенной модели.

Технология моделирования требует от исследователя умения определять проблемы и ставить задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки, выделять главные и второстепенные факторы для построения моде-лей, выбирать аналогии и математические формулировки, решать задачи с исполь-зованием компьютерных систем, проводить анализ компьютерных экспериментов.

Навыки моделирования очень важны для человека в его повседневной деятельности. Они помогают разумно планировать распорядок дня, учебу, труд, выбирать оптимальные варианты при наличии выбора, удачно разрешать различные жизненные проблемы.

Материальным (предметным, физическим) принято называть моделирование, при котором, реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия.

Примеры: в астрономии - планетарий, в архитектуре - макеты зданий, в самолетостроении - модели летательных аппаратов.

От материального моделирования принципиально отличается идеальное моделирование, которое основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на идеальной, мыслительной.

Знаковое моделирование - моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графика, чертежи, формулы, наборы символов.

Математическое моделирование - моделирование, при котором исследова-ние объекта осуществляется посредством модели, описанной на языке математики. Пример: описание и исследование законов механики Ньютона средствами математических формул.

Процесс моделирования можно представить в виде последовательности несколь-ких этапов:

объект - модель -  изучение модели -  знания об объекте.

Основной задачей процесса моделирования является выбор модели, наиболее адекватной оригиналу, и перенос результатов исследования на оригинал.

Классификация моделей. Материальные и информационные модели

Классификацию моделей можно проводить в соответствии с различными их признаками.

1.По области использования:

 учебные - наглядные пособия, обучающие программы, различные тренажеры;

 опытные - модель корабля (испытывается в бассейне для определения устойчивости судна при качке);

 научно-технические - ускоритель электронов; прибор, имитирующий разряд молнии; стенд для проверки телевизора;

 игровые-военные, экономические, спортивные, деловые и другие игры;

 имитационные - эксперимент или многократно повторяется для изучения и оценки влияния каких-либо действий на реальную обстановку, или проводится одновременно со многими объектами, похожими, но поставленными в разные условия.

Классификация моделей по области использования

2.По учету фактора времени:

 статические -- дают <одномоментный срез> текущего  состояния объекта.
Пример. Школьник пришел в стоматологическую поликлинику для осмотра полости рта. Врач провел осмотр и сделал записи в медицинской карте. Эти записи, дающие картину состояния ротовой полости на данный момент времени (число молочных, постоянных, пломбированных, удаленных зубов), и будут являться статической моделью;

 динамические -- позволяют увидеть изменения объекта во времени.
Пример: та же самая медицинская карта школьника, которая отражает изменения, происходящие с его зубами за определенный промежуток времени.

Классификация моделей по учету фактора времени

З.По способу представления объекта:

 материальные;

 информационные.

Названия этих групп показывают, из чего сделаны модели.

Материальные (предметные, физические) модели воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение.

Примеры.

Детские игрушки. По ним ребенок получает первое впечатление об окружающем мире. Двухлетний ребенок играет с плюшевым медвежонком, а когда спустя годы видит в зоопарке настоящего медведя, без труда узнает его.

Школьные пособия, физические и химические опыты. В них моделируются процессы, например реакция между водородом и кислородом. Такой опыт сопровождается оглушительным хлопком. Модель подтверждает утверждение о возникновении "гремучей смеси" из безобидных и широко распространенных в природе веществ.

Карты при изучении истории или географии; схемы Солнечной системы и звездного неба на уроках астрономии и многое другое.

Вывод: материальные модели реализуют материальный (потрогать, понюхать, увидеть, услышать) подход к изучению объекта, явления или процесса.

Информационные модели нельзя потрогать или увидеть воочию, они не имеют материального воплощения.

Информационная модель - совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также его взаимосвязь с внешним миром.

Информация, характеризующая объект или процесс, может иметь разный объем и форму представления, выражаться различными средствами. Это многообразие настолько безгранично, насколько велики возможности каждого человека и его фантазии.

К информационным моделям можно отнести знаковые и вербальные модели.

Знаковая модель - информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка.

Знаковые модели окружают нас повсюду. Это рисунки, тексты, графики и схемы.

По способу реализации знаковые модели можно разделить на компью-терные и некомпьютерные.

Компьютерная модель - модель, реализованная средствами программной среды.

Вербальная (от лат - устный) модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме.

Это модели, полученные в результате раздумий, умозаключений. Они могут так и остаться мысленными или быть выражены словесно. Примером такой модели может стать наше поведение при переходе улицы. Человек анализирует ситуацию на дороге (какой сигнал светофора горит, с какой скоростью и на каком расстоянии движутся автомобили и т. п.) и вырабатывает свою модель поведения. Если ситуация смоделирована удачно, то переход будет безопасным, если нет - может произойти авария. К подобным моделям можно отнести идею, возникшую в голове изобретателя; музыкальную тему, промелькнувшую в голове композитора; рифму, родившуюся в голове поэта.

Знаковые и вербальные модели, как правило, взаимосвязаны. Мысленный образ, родившийся в мозгу человека, может быть облечен в знаковую форму. И наоборот, знаковая модель помогает сформировать в сознании верный мысленный образ.

Примеры.

Согласно легенде, яблоко, упавшее на голову Ньютону, вызвало в его сознании мысль о земном притяжении. И только впоследствии эта мысль оформилась в закон, т. е. обрела знаковую форму.

Классификация моделей по способу представления объекта

Материальные

Информационные

Знаковые

Вербальные

Компьютерные

Некомпьютерные

Человек прочитал текст, объясняющий некоторые физические явления, и у него сформировался мысленный образ. В дальнейшем такой образ поможет распознать реальное явление.

4. По отрасли знания:

 биологические;

 исторические;

 социологические и др.

Формализация

Прежде чем построить модель объекта (явления, процесса), необходимо выделить составляющие элементы этого объекта и связи между ними (провести системный анализ) и "перевести" (отобразить) полученную структуру в какую-либо заранее определенную форму - формализовать информацию.

Формализация - это процесс выделения внутренней структуры предмета, явления или процесса и перевода ее в определенную информационную структуруформу.

Моделирование любой системы невозможно без предварительной формализации. По сути, формализация - это первый и очень важный этап процесса моделирования. Модели отражают самое существенное в изучаемых объектах, процессах и явлениях, исходя из поставленной цели моделирования. В этом главная особенность и главное назначение моделей.

Пример. Из курса географии вы знаете, что силу подземных толчков принято измерять по десятибалльной шкале. По сути, мы имеем дело с простейшей моделью оценки силы этого природного явления. Действительно, отношение "сильнее", действующее в реальном мире, здесь формально заменено на отношение "больше", имеющее смысл во множестве натуральных чисел: слабейшему подземному толчку соответствует число 1, сильнейшему - 10. Полученное упорядоченное множество из 10 чисел - это модель, дающая представление о силе подземных толчков.

2.   Этапы моделирования

Прежде чем браться за какую-либо работу, нужно четко представить себе от-правной и каждый пункт деятельности, а также примерные ее этапы. То же самое можно сказать и о моделировании. Отправной пункт здесь - прототип. Им может быть существующий или проектируемый объект или процесс. Конечный этап моделирования - принятие решения на основании знаний об объекте.

Цепочка выглядит следующим образом:

Прототип (объект, процесс) -- Моделирование -- Принятие решения

Примеры.

Моделирование при создании новых технических средств можно рассмотреть на примере истории развития космической техники.

Для реализации космического полета надо было решить две проблемы: преодолеть земное притяжение и обеспечить продвижение в безвоздушном пространстве. О возможности преодоления притяжения Земли говорил еще Исаак Ньютон в XVII в. К. Э. Циолковский предложил для передвижения в пространстве создать реактивный двигатель, в котором используется топливо из смеси жидкого кислорода и водорода, выделяющих при сгорании значительную энергию. Он составил довольно точную описательную модель будущего межпланетного корабля с чертежами, рас-четами и обоснованиями.

Не прошло и полувека, как описательная модель К. Э. Циолковского стала основой для реального моделирования в конструкторском бюро под руководством С. П. Королева. В натурных экспериментах испытывались различные виды жидкого топлива, форма ракеты, система управления полетом и жизнеобеспечения космонавтов, приборы для научных исследований и т. п. Результатом разностороннего моделирования стали мощные ракеты, которые вывели на околоземное пространство искусственные спутники Земли, корабли с космонавтами на борту и космические станции.

Рассмотрим другой пример. Известный химик XVIII в. Антуан Лавуазье, изучая процесс горения, производил многочисленные опыты. Он моделировал процессы горения с различными веществами, которые нагревал и взвешивал до и после опыта. При этом выяснилось, что некоторые вещества после нагревания становятся тяжелее. Лавуазье предположил, что к этим веществам в процессе нагревания что-то добавляется. Так моделирование и последующий анализ результатов привели к определению нового вещества - кислорода, к обобщению понятия "горение", дали объяснение многим известным явлениям и открыли новые горизонты для исследований в других областях науки, в частности в биологии, так как кислород оказался одним из основных компонентов дыхания и энергообмена животных и растений.

Моделирование - творческий процесс. Заключить его в формальные рамки очень трудно. В наиболее общем виде его можно представить поэтапно, как изображено схеме:

Этапы моделирования

ЭТАП I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ ЦЕЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ

АНАЛИЗ ОБЪЕКТА

ЭТАП II. РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ

ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ЗНАКОВАЯ МОДЕЛЬ КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ

ЭТАП III. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

ПЛАН МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЭТАП IV. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ