Золотое сечение
выступление ученика
Пусть имеется некоторый отрезок AB. Построим "золотое сечение" этого отрезка точкой С.
Анализ.
Пусть отрезок AB разделен на две части точкой C причем AC<CB.
Тогда имеем следующую пропорцию: 
. Обозначим: 
, тогда 
, пропорция примет вид: 
. Воспользовавшись основным свойством пропорции, приходим к
уравнению 
. Это квадратное уравнение имеет два корня - положительный и отрицательный , последний
мы отбрасываем в силу условия задачи. Положительный корень 
; следовательно, задача сводится к построению отрезка
указанной длины 
по отрезку длины 
. Выполним тождественные преобразования выражения 
. 
.
Длина отрезка 
равна длине гипотенузы
прямоугольного треугольника с катетами 
и 
. Этот треугольник можно построить с помощью циркуля и
линейки. Отрезок длины 
также легко построить:
необходимо из гипотенузы построенного треугольника вычесть отрезок длины 
.
Построение.
- восстановим перпендикуляр к AB в точке А;
- разделим отрезок AB пополам;
- на перпендикуляре к AB отложим отрезок AD, равный
- соединим точки B и D;
- отложим на DB отрезок DE, равный AD;
- отложим на AB отрезок BC, равный BE. Получим точку С. Докажем, что С - искомая искомая точка.
Доказательство:
Докажем, что точка С - искомая.
Из треугольника ABD по теореме
Пифагора имеем 
, 
По построению 
Из этих равенств следует
, 
Разделим обе части полученного
равенства на 
: 
, 
, 
. Т.е. тоска С - <золотое сечение> отрезка АВ, что и требовалось
доказать.
Можно указать точные значения
коэффициента "золотого сечения": 
Соловьев Сергей
| книга записей | admin@matica.info |
