Сайт учителя математики

Сайт учителя математики

Из опыта работы

От конкретного к абстрактному, обратно к конкретному и снова...

§1. Схема процесса математического моделирования

Наберитесь терпения, и прочитайте несколько фраз типа введения

Задумывались ли вы над тем, что каждый человек в процессе знакомства с математикой повторяет основные этапы истории развития математики от первобытного человека и до наших дней?

В раннем детстве ребенок сначала узнает только два числа: "один", "два", все остальное для него - "много". Затем учится считать до 10, 20, 100 и т. д. Постепенно узнает названия простейших геометрических фигур: круг, квадрат, треугольник, шар, куб, цилиндр и т. д.

Параллельно с этим он постепенно учится выполнять арифметические действия над числами, строить треугольники, квадраты, окружности и т. д.

Далее, сначала в арифметике и затем в алгебре познает общие свойства действий над числами, а в геометрии изучает теоремы о свойствах геометрических фигур.

И, наконец, достигает вершин этих разделов математики: знакомится с общей теорией действительных и комплексных чисел и с аксиоматической теорией построения геометрии.

Примерно по такому же плану прошла путь вся история развития математики и не только этих разделов, но и всех остальных, более сложных и абстрактных.

Что же заставляет математиков интенсивно развивать свою науку? На этот вопрос вы знаете четкий ответ: практика.

Покупая в магазине разные продукты, вы автоматически занимаетесь простейшим математическим моделированием. Запомнив цену каждого продукта, вы (или кассир) складываете абстрактные числа, оплачиваете сумму и затем по каждому чеку (числу на чеке) получаете конкретный продукт.

Такую же простейшую схему математического моделирования вы много раз применяли в курсе алгебры при решении текстовых задач. Вспомните основные этапы решения таких задач.
I. Переложение практической задачи на математический язык: составление уравнения, или неравенства, или системы уравнений и неравенств.
II. Решение математической задачи: уравнения, неравенства или системы.
III. Интерпретация математического результата: переход от найденных чисел (корней уравнений, решений неравенств) к их практическому смыслу в данной задаче.

Если вы не допустили ошибок, что легко проверяется по данным в учебнике ответам, то считается, задача решена верно.

На самом же деле при решении настоящей сложной практической задачи ответ неизвестен (если он известен, то зачем ставить и решать задачу?). Поэтому нужен еще один этап: проверка результата практикой.

Представьте себе, что решается сложная задача о конструировании самолета или не менее сложная экономическая задача. В таких случаях ответ, конечно, неизвестен, поэтому необходима проверка математических выводов экспериментом.

Чтобы проверить теоретические выводы о конструкции самолета, строят его модель - единственный (а не серийный) настоящий самолет и сначала проверяют его испытанием в аэродинамической трубе. При этом хотя самолет и не летит, но напряжения, возникающие в его корпусе, соответствуют условиям полета. Затем проводят испытания в настоящем полете - это уже ответственный этап проверки, так как связан с жизнью летчиков - испытателей.

Во время испытаний выявляются недостатки, уточняются условия задачи, уточняются и проверяются все три этапа ее решения. Затем снова эксперимент и так до получения хорошего для практики результата.

Таким образом вырисовывается следующая схема моделирования.

Карпова И.