Сайт учителя математики

В самых разных областях жизни и деятельности часто приходится решать вопрос о выборе наилучшего варианта поведения из возможных альтернативных вариантов. Наилучший, т. е. оптимальный, вариант должен удовлетворять двум требованиям: во-первых, он должен быть одним из реально возможных (допустимых), во- вторых, должен обеспечивать максимум поставленной цели. По ситуации составляется математическая задача, в которой по условию составляется система ограничений ( система неравенств или уравнений) и целевая функция. Задачи, в которых условиями являются линейные уравнения или неравенства и целевая функция также линейна, называются задачами линейного программирования. Чтобы решать задачи линейного программирования, необходимо уметь решать системы линейных неравенств. С математической точки зрения решение задачи линейного программирования состоит в том, чтобы среди точек (x, y) плоскости, удовлетворяющих системе ограничений, найти такие, при которых целевая функция принимает экстремальное значение.

При решении таких задач можно использовать компьютер, в частности, табличный процессор Excel Сначала формируется таблица расчета.

Первый столбец этой таблицы служит для описания содержимого ячеек второго столбца, т.е. в него заносятся компоненты условия задачи , во второй - либо значения постоянной величины из условия, либо- формулы, описывающие соответствующий компонент условия задачи. В среде Excel  есть так называемый Решатель (Solver), диалоговое окно которого вызывается командой < Поиск решения> из меню <Сервис>. В этом окне необходимо указать ячейку, хранящую целевую функцию, ячейки с переменными поиска и ограничения, вытекающие из условия задачи. После того, как эта работа завершится, необходимо нажать кнопку < Выполнить>.Затем компьютер, выполнив решение задачи, занесет результат в исходную таблицу.

Рассмотрим конкретные примеры.

Задача № 1

Среди чисел, удовлетворяющих условиям:

y³0

x-y£1

x-4y³-2,

найти такие, при которых сумма этих чисел принимает наибольшее и наименьшее значение.

Задача № 2

Найти наибольшее значение линейной функции S (x, y) = 4x+5y+2 в области, заданной системой неравенств

3x -2y+9³0

3x - y + 6 £0.

Задача № 3

Найти наименьшее значение линейной функции S ( x, y ) =9y - 4x +7 в области, заданной системой неравенств

2x - y ³4

2x - 3y£8.

Задача №4

Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции S ( x, у ) =7x+3y+11 в области, заданной системой неравенств

x-2y £4

y- 4x£5

2x+3y £1.

Задача № 5

С совхозного поля на овощную базу перевозятся овощи автомашинами грузоподъемностью по 5 и 10 тонн. За 1 час база может принять не более 10 машин, при этом не более 8 машин по 5 тонн и не более 6 машин по 10 тонн. Сколько машин по 5 и 10 тонн нужно отправлять с поля на базу за 1 час, чтобы перевозить наибольшее количество овощей?

Задача №6

С железнодорожных станций  A и В нужно развести грузы на склады №1, №2, №3. На станции А весь груз можно погрузить на 80 машин, а на станции В - на 100 машин. Склады должны принять: №1 - 50 машин, №2 - 70 машин, № 3 - 60 машин. Количество бензина ( в литрах), которое расходует одна машина пробег от станции до склада, дается следующей таблицей 

Требуется составить план перевозок, при котором общий расход бензина будет наименьшим.

Карпова И.