Сайт учителя математики

Роль систематизации, обобщения и повторения в повышении качества обучения математике

Роль образования в России определяется задачами перехода к демократическому обществу, правовому государству, рыночной экономике, задачами преодоления опасности накапливающегося отставания России от мировых тенденций экономического развития. Образование должно войти в состав основных приоритетов российского общества и государства.

Основная цель модернизации образования состоит в создании устойчивого развития системы образования, обеспечения ее соответствия потребностям XXI века. Первейшая задача образовательной политики на современном этапе – достижение высокого качества образования, его соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства.

Модернизации школы предполагает решение ряда системных задач, первостепенной из них является достижение нового, современного качества образования. В педагогическом плане – это ориентация не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие личности, познавательных и созидательных способностей. Общеобразовательная школа должна формировать новую систему универсальных знаний, умений, навыков, а также опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся. На первый план выдвигается воспитание нестандартно мыслящего человека – творца. Если раньше уровень образованности определялся числом выученных правил, прочитанных произведений, заученных стихотворений, умением решать нестандартные задачи, то сегодня главное – научиться ставить и оригинально решать новые задачи, изобретать, творчески подходить к решению любого вопроса.

Актуальность темы сегодняшнего семинара состоит в том, что в последнее время меняются формы итоговой аттестации (не успели привыкнуть к ЕГЭ, грядет новая форма государственной аттестации в 9 классе), поэтому должны произойти изменения и в ходе преподавания. Как отмечают разработчики новых экзаменационных материалов для 9 класса, при выполнении заданий уже  1 части учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний, умение пользоваться разными математическими языками и переходить с одного из них на другой, распознавать стандартные задачи, представленные в разнообразных формулировках. В систему оценивания вводится новый временной параметр – время на выполнение 1 части работы ограничивается  60 минутами.

В.П. Беспалько в своей монографии «Образование и обучение  с участием компьютеров (педагогика третьего тысячелетия)» пишет: «С позиций современной теории обучения в структуре дидактического    (учебного) процесса Дпр необходимо четко различать три его взаимосвязанные и взаимодействующие части: мотивацию учения М, учебную деятельность Уд и управляющую деятельность учителя Уу или технических средств обучения. То есть этой формулой записан важнейший педагогический закон, который формулируется следующим образом: «Процесс обучения может быть эффективным только при условии, что учащийся обладает учебной мотивацией к изучаемому предмету, самостоятельно и полно выполняет адекватную цели обучения учебную деятельность и, наконец, эта деятельность управляется извне методами, гарантирующими заданное качество обучения».

Школа должна дать учащимся прочные знания. Принцип прочности требует, чтобы у учащихся сохранились знания на длительное время. Это невозможно осуществить путем простого заучивания, без глубокого понимания изучаемого материала.

Таким образом, сознательность усвоения – одно из необходимых условий прочности знаний. Но сознательность усвоения обеспечивается активной мыслительной деятельностью учащихся. Поэтому необходимым условием прочности знаний является приобретение их активным образом. Однако это условие не является достаточным. Разрозненные, несистематизированные, не связанные общими идеями знания не могут быть прочными. Систематичность обеспечивается научностью обучения. Для обеспечения прочности знаний необходима еще и соответствующая организация обучения, учитывающая результаты исследований механизма запоминания.

Совершенно очевидно, что все запомнить на длительное время не нужно, да и невозможно. Строгие математические формулировки должны быть итогом изучения соответствующих объектов, свойств, отношений. Обучение не должно быть направлено и на заучивание учащимися отдельных доказательств. Оно должно обеспечить такое развитие мыслительной деятельности, которое дало бы возможность школьникам самостоятельно искать и находить доказательства, когда в этом возникает необходимость.

Еще в 1905 году Уильям Джеймс в книге «Психология» писал: «Знание, приобретенное путем простого зубрения, почти неизбежно забывается совершенно бесследно.  Наоборот, умственный материал, набираемый памятью постепенно, день за днем, в связи с различными контекстами, освещенный с различных точек зрения, связанный ассоциативно с другими внешними событиями и неоднократно подвергшийся обсуждению, образует такую систему, вступает в такую связь с остальными сторонами нашего интеллекта, легко возобновляется в памяти такою массою внешних поводов, что остается надолго прочным приобретением». И еще: «В системе каждый факт задерживается совокупной силой всех других фактов системы, и забвение почти невозможно»

Различные системы дидактических принципов (начиная от Я.А. Коменского и заканчивая современными дидактами ) содержат хотя бы один из следующих: принцип системности, систематичности, целостности, последовательности в обучении. Можно объединить названные принципы в один – принцип системности в обучении.

Сущность этого  метода заключается в психологически правильной последовательности распределения материала, способов и приемов обучения, последовательности настолько логичной и твердой, что все обучение получает вид механизма. В идеале система знаний ученика состоит из элементов, которые находятся в связях друг с другом и образуют определенную целостность, единство и обладают иерархической структурой.

Под систематизацией в педагогике понимается мыслительная деятельность, по организации изучаемых объектов в систему на основе некоторого согласованного принципа. Она включает в себя установление связей между объектами, причинно-следственных отношений, разделение объектов на группы (классификацию), выделение сходства между объектами. Только тогда, когда знание приведено в систему, оно может быть востребовано в практической деятельности.

Дидакт В.Н. Зайцев в работе «Практическая дидактика» указывает, что в основу систематизации можно взять положение Я.А.Коменского о трех уровнях обучения: сначала должна работать мысль; потом - память; затем - руки. По современному, это три уровня : понимание, усвоение и применение

На каждом уровне обучения решаются определенные дидактические задания со своими приемами и закономерностями их выполнения:

1. осознание

2. осмысление

3. обобщение

4. текущее повторение

5. тематическое повторение

6. итоговое повторение

7. формирование и совершенствование умений

8. стандартное применение

9. творческое применение

Общий принцип системности в обучении может быть разделен на несколько частных:

Ø принцип целостности подчеркивает принципиальную несводимость существенных свойств отдельных элементов

Ø принцип структурности, на основе которого мы изучаем «устройство», структуру системы, соподчиненность ее частей;

Ø принцип иерархичности (каждый элемент системы - это тоже система);

Ø принцип множественности (система сложна, и можно осмыслить сколько угодно подходов к ее описанию. Каждая новая модель системы позволит по-новому осветить некоторую ее сторону);

Ø принцип содержательности (каково конкретное содержание каждого элемента системы в целом?);

Ø принцип перманентности (система математического знания слишком сложна и требует постепенного, непрерывного, скрупулезного наполнения новым содержанием формируемой у школьника системы знаний);

Ø принцип взаимосвязи системы математического знания и среды, т.е. реального мира (на уровне математики мы привлекаем задачи из других областей не ради них, а ради изучения математики);

Ø принцип деятельности не является составляющим элементом принципа системности, это основной подход к работе по созданию системы математических знаний (известная педагогическая истина: когда я слушаю-забываю, когда вижу-запоминаю, когда я делаю - понимаю)

В курсе математики средней школы можно выделить несколько основных линий. Например,

1. Числа и вычисления

2. Тождественные преобразования

3. Функции

4. Координатный метод

5. Уравнения

6. Неравенства

7. Свойства геометрических фигур

8. Геометрические построения

9. Геометрические преобразования

и т.д

Чтобы осуществить «наложение» направлений друг на друга, их взаимодействие, обеспечить непрерывную  востребованность каждого из них, необходимо:

Ø решение устных задач, в которые входят задачи многих направлений. (Например, расположите выражения так, чтобы их значения находились в порядке убывания  

Ø  в начале урока учащимся  может быть предложен так называемый кросс опрос, который, с одной стороны, внесет некоторое оживление в урок, с другой, позволит ненавязчиво обратиться к повторению узловых вопросов из различных разделов математики.

Закончите предложение

1) Числа, расположенные правее нуля…

2) Прямые на плоскости, имеющие одну общую точку…

3) Результат деления…

4) Сотая часть числа…

5) Результат вычитания…

6) Ордината точки единичной окружности

7) Частное синуса и косинуса

8) Мгновенная скорость изменения функции

9) Операция нахождения производной.)

Ø рассмотрение более сложных, комплексных задач, подобранных таким образом, что решение каждой из них требует обращения ко многим направлениям, а все задачи из каждого набора в совокупности отражают все направления. Нынешние учебник математики построены таким образом, что упражнение закрепляет знания по той теме, которая изучается в данный момент. Комплексные упражнения – попытка устранить этот недостаток. Каждое из них объединяет несколько тем курса математики, причем используются тонкие моменты (понятие корня, модуля и т.д.), и после преобразований решаются достаточно просто. Эти упражнения развивают логическое мышление, учат обращать внимание на «тонкости», способствуют созданию проблемной ситуации на уроке, формируют навыки тождественных преобразований, закрепляют усвоение основных положений курса математики. Приведем примеры комплексных упражнений.

7-9 класс

1) Построить график функции

2) Построить график функции

3) Построить график функции

4) Построить график функции

5) Решите неравенство

6) Решите уравнение

10-11 класс

1) Построить график функции

2) Построить график функции

3) Построить график функции

4) Решите уравнение

5) Решите уравнение

6) Решите неравенство

( Примеры комплексных упражнений приведены в приложении к нашему семинару)

Ø проведение исследований. Составление наборов таких задач, при решении которых явным образом используются основные мыслительные операции – анализ и синтез, индукция и дедукция, сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация. Общие методы решения, их классификация – мощное средство скрепления основных направлений курса. К этому разделу следует, прежде всего, отнести задачи с параметрами. Учителями нашего лицея систематизирован материал по использованию задач с параметрами. (Можно ознакомиться с содержанием папки). Туммель Н.Ф. ведется элективный курс «Задачи с параметрами».

Ø приложение математических знаний в других областях (физика, черчение, география, экономика и т.д.) Примеры задач практического содержания приведены в приложении к семинару «Функции и графики». Вот одна из таких задач.

6 февраля два брокера купили по 100 акций некоторой компании каждый. На графике, изображенном на рисунке, представлено изменение курса этих акций (по оси абсцисс откладываются числа февраля, считая от дня покупки, по оси ординат – стоимость одной акции в рублях). 14 февраля первый брокер продал 80 акций, а второй – 45 акций. Оставшиеся акции брокеры продали 24 февраля. Какой из брокеров – первый или второй – получил большую прибыль? На сколько рублей его прибыль оказалась больше прибыли другого брокера?  Ответ: прибыль первого брокера больше на 140 рублей.

&slash;

Примером использования задач практического содержания может служить коллективный творческий проект учителей и учащихся с использованием краеведческого материала, представленный на нашей выставке.

Систематизирующее воздействие перечисленных ситуаций, считает белорусский ученый Е.Е. Семенов, будет эффективнее, если придерживаться следующих советов.

Совет первый: перед каждой темой проводить вводные уроки, открывающие перспективу ее изучения, а после изучения темы  - уроки систематизации, обобщения, углубления математических знаний.

Совет второй: постоянно включать в контрольные работы задачу по любому из ранее изученных материалов, практиковать систематически работы с задачами из многих направлений.

Совет третий: искать и использовать разнообразные основания для обсуждения и объединения разнородных направлений в одну укрупненную дидактическую единицу.

Такое преподавание будет создавать лучшее представление о математической деятельности как таковой и пробуждать настоящий интерес учащихся к математике, особенно математически способных школьников.

Без систематического обращения к основным направлениям школьного курса математики невозможна его перманентная систематизация, а без нее невозможно полноценное осуществление идеи развивающего обучения.

Систематичность имеет место и в организационных приемах работы учителя – в системе его требований к учащимся. Систематичность должна быть и в учебной деятельности учащихся  - в системе методов работы над каждым учебным предметом, в последовательности выполнения домашних заданий, работе с учебником и дополнительной литературой и т. д. В системе должен находиться и храниться дидактический материал, используемый учителем.

С понятием систематизации тесно связано понятие обобщения, которое нередко осуществляется путем выделения одинакового математического содержания для различных задач. На умственное развитие учащихся большое влияние оказывает применение приемов аналогии. Умозаключения по аналогии являются составной частью творческого мышления, так как этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному.  Но простое применение аналогии дает упражнение подобное, однопорядковое с исходным.  Процесс обобщения основывается на применении аналогии, но не сводится полностью к ней. Применение обобщения связано с преобразованием мыслей, с умственным экспериментированием, оно является одним из важных средств самообучения, самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний.  Всякая математическая задача неисчерпаема в своих связях с другими задачами; после решения задачи всегда можно продолжить размышление, найти несколько направлений, в которых удается обобщить задачу, и найти затем решение созданных таким образом новых проблем. Поэтому обобщение можно считать одним из способов получения новых знаний. Прием обобщения применяется в двух принципиально различных ситуациях. В первой, исследуя результаты, полученные при решении серии однотипных задач, пытаются подметить какое- либо сходство между изучаемыми объектами, а затем находят общий способ решения задач этого класса. Это так называемое эмпирическое обобщение. Во второй  - анализу подвергается доказательство того или иного утверждения (решение конкретной задачи), ищется то ядро, из которого вытекает данное утверждение. Это так называемое содержательное обобщение.

Рассмотрим, например, закономерность формирования обобщенного приема решения уравнений и неравенств с одним неизвестным алгебраическим способом. Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений и неравенств происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

решение простейших уравнений данного вида;

анализ действий, необходимых для их решения;

вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;

решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

анализ действий, необходимых для их решения;

формулировка частного приема решения;

применение полученного частного приема по образцу, в сход­ных ситуациях, а легко осознаваемых вариациях образца;

работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;

сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе формулировка обобщенного приема ре­шения;

применение обобщенного приема в различных ситуациях, пе­ренос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятель­ность направлена на создание ситуаций (условий) для реализа­ции этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения или неравенства, его формулировки, отработки и применения.

В V—VI классах при изучении числовых множеств в учеб­никах формулируется довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших тождественных преобразований выражения. Формулировка частных приемов решения различных простейших уравнений первой степени может естественно вписать­ся в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школь­ные учебники алгебры, объяснениями на примерах.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изу­чения курса математики V—VI классов можно сформировать у учащихся, обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в следующем виде:

1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на коэффи­циент при неизвестном;  

3) упростить уравнение;

4) найти значение неизвестного

5) записать ответ.

Можно привести систему заданий, способствующих формированию у учащихся приема содержательного обобщения

Составление математической модели – это наиболее распространенный вид обобщения. Он состоит в переводе происходящих в действительности процессов на язык математики. Выявление этой модели демонстрирует учащимся применение математики как инструмента для облегчения анализа реальных ситуаций. В приложениях нашего семинара представлен систематизированный материал для организации заключительного повторения по решению текстовых задач  как в 9 классе, так и в период подготовки к ЕГЭ в 11 классе.

Обобщение систематизирует знания учащихся, так как требует установить и осмыслить взаимосвязи между понятиями и отношениями, о которых идет речь в задаче. В ходе выяснения таких взаимосвязей у учащихся составляется некий целостный образ, в котором одно знание следует из другого и связано с ним. В конце концов, некоторая группа знаний, расположенных в определенной последовательности по отношению друг к другу, составит систему.

Известна поговорка «Повторение – мать учения». Глубокое усвоение материала требует неоднократного возвращения к нему и рассмотрения в разных связках и контекстах. Именно повторение, влияя на систематизацию знаний, обеспечивает учащимся настрой на успешность. Без прочного сохранения приобретенных знаний, без умения воспроизвести в необходимый момент ранее пройденный материал, изучение нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не дает надлежащего эффекта. « Обучение нельзя довести до основательности без возможно более частых и особенно искусно поставленных повторений и упражнений», - отмечал Я.А Коменский.  Повторение обеспечивает перевод информации из кратковременного хранилища в долговременное. Понятно, что обилие неупорядоченной информации в долговременном хранилище не позволяет ее быстро извлекать. Поэтому она должна быть систематизирована («разложена по полочкам»).

Основные черты математического (систематизирующего) повторения – представление информации в сжатом виде с последующим кратным повторением: вопросники, таблицы, структурно логические схемы, тесты.

В психолого-дидактической и методической литературе выделяются следующие виды повторения: предваряющее, текущее, тематическое и итоговое.

Предваряющее повторение в начале учебного года диктуется необходимостью восстановления опорных знаний и умений, требуемых для дальнейшего изучения математики. Своевременное повторение опорных знаний и умений позволяет учителю уже в начале учебного года выявить пробелы в подготовке учащихся и целенаправленно работать над их устранением в ходе текущего повторения. В него включаются также сведения, связанные с вновь изученным материалом и материалом, необходимым для приобретения новых знаний. Примеры заданий, применяемых в начале 5 и 10 классов приведены в приложениях к семинару.

Текущее повторение всего ранее пройденного в связи с изучением нового материала и вне связи с ним. Например, повторение понятия взаимно обратных арифметических операций в связи с введением понятия взаимно обратных операций над функциями (дифференцирование и интегрирование)

Тематическое повторение применяется с целью углубления и систематизации материала каждой изучаемой темы. На тематическое повторение выносятся вопросы исходя из их значимости в структуре материала темы, определяемой программными требованиями. Заслуживает внимания подбор заданий по так называемому «сюжетному» принципу, представляющий  собой блоки вопросов, относящихся к одному объекту. Например,

Интересен, например, такой прием организации тематического повторения. Ученики составляют свои авторские опорные конспекты по изученной теме.  Можно предложить учащимся и создание «Универсальной шпаргалки» с последующей организацией конкурса опор-шпаргалок. Хорошо получится, если использовать прием «Лови ошибку», которая закладывается в опорный конспект. Ученики могут разработать списки контрольных вопросов ко всей ранее изученной теме. Возможен конкурс списков. Можно провести контрольный опрос по одному из них. Учащиеся могут привлечь и дополнительные сведения по изучаемой теме, как, например, ученики 11 класса  нашего лицея выполнили работу

Конические сечения и их построение с помощью компьютерной программы Solid Works.

Творческая работа

 учащихся

11 «А» класса

 Горина Антона и

Ковылкина Александра.

 Учащиеся получают задание подобрать или придумать свои примеры, задачи, вопросы, связывающие последний изученный материал с любой ранее изученной темой. Прием хорош тем, что повторение предыдущего сколь угодно давно изученного материала происходит без отрыва от сегодняшнего, к тому же такое пересечение позволяет каждый раз посмотреть на свои знания немного под другим углом зрения. Привлечение и повторение старых знаний при освоении нового материала может принимать форму сравнения, сопоставления или противопоставления.

Творческие задания помогут наиболее эффективно организовать тематическое повторение. Например, в заключении изучения темы «Многогранники» учащиеся составляют  компьютерный тест, который может быть использован учителем в проверки качества знаний других  учеников.

В связи с подготовкой к ЕГЭ при организации тематического повторения в настоящее время можно воспользоваться статьями журнала «Математика для школьников» за 2004-2005 гг. («Тригонометрия на ЕГЭ», «Логарифмы на ЕГЭ» и т.д.). Примеры таких  заданий можно  увидеть в представленных материалах по теме «Квадратные уравнения», «Логарифмическая функция» и т. д.

Итоговое повторение проводится в конце учебного года. По целям и отбору материала оно сходно с тематическим, однако уровень обобщения материала здесь значительно выше. При итоговом повторении осуществляется не только обобщение и систематизация, но и углубление знаний по ведущим понятиям, идеями методам на основе установления логических связей между ними и областей применимости их в самой математике и на практике.

Превращение суммы знаний учащихся в систему предполагает на определенном этапе обучения необходимость перекомпановки, соподчинения систематизации материала, выявления новых связей и отношений между элементами этой суммы знаний. Чтобы это осуществить, нужны специальные виды учебной работы. Такими видами работы могут быть заняты либо части уроков, либо целые уроки, называемые повторительно-обобщающими (уроки обобщения и систематизации знаний.) Мы уже говорили о том, что процесс обобщения и систематизации знаний предполагает такую последовательность действий: от восприятия, осмысления и обобщения отдельных фактов к формированию понятий, категорий и систем, от них к усвоению более сложной системы знаний – овладению основными теориями и ведущими идеями изучаемого предмета. В связи с этим в уроке выделяют следующие структурные элементы:

§ постановку цели урока и мотивацию учебной деятельности учащихся;

§ воспроизведение и коррекцию опорных знаний;

§ повторение и анализ основных фактов, событий, явлений;

§ обобщение и систематизацию понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических заданий;

§ усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний;

§ подведение  итогов урока.

На повторительно-обобщающие уроки выносится материал, знакомящий учащихся с  ведущими идеями курса, имеющий важное мировоззренческое значение, а также материал, который впоследствии из предмета изучения перерастает в средство изучения другого материала. Объектом обобщения могут быть понятия, методы, доказательства теорем, методы решения задач. Содержание уроков может строиться либо на теоретическом материале, либо на системе упражнений, либо на их сочетании.

Типы повторительно-обобщающих уроков могут быть следующими: лекция, обобщающий семинар, урок-собеседование, защита проекта, урок полной самостоятельной деятельности, урок с элементами игровой ситуации (например, урок-соревнование), урок - деловая игра. На любом типе урока обязательно должна присутствовать самостоятельная работа, так как только в ходе самостоятельной деятельности знания достигнут высокого уровня обобщенности, систематичности.

Методика организации обобщающего повторения меняется от класса к классу. Так, если в средних классах учитель сам в форме беседы или рассказа обращает внимание на необходимость всестороннего изучения каждого понятия, явления, на взаимосвязь изучаемых понятий, то в старших классах целесообразно так организовать работу, чтобы учащиеся самостоятельно пришли к открытию новых связей между усвоенными понятиями, к  обобщению полученных знаний. Сегодня вы увидите примеры работ (компьютерные презентации), выполненных учащимися нашего лицея.

Классифицировать обобщающее повторение можно также и в зависимости от содержания повторяемого материала: повторение, проводимое на уровне понятий, на уровне системы понятий, на уровне теорий. Это дает возможность осуществлять дифференцированный подход к учащимся, учитывать их возрастные и индивидуальные особенности.

Обобщающее повторение на уровне понятий в большей степени приемлемо в группе слабоуспевающих учащихся, а обобщающее повторение на уровне теорий – в группе наиболее подготовленных учащихся. При обобщающем повторении на уровне понятий сопоставляются изученные понятия, школьники учатся переформулировать определения понятий через другую совокупность существенных признаков, давать определение понятию, принимая за основу другое родовое понятие. Основными методами работы на таких уроках являются методы наблюдения и сравнения.

При обобщающем повторении на уровне системы понятий отыскиваются новые связи и отношения между понятиями, прослеживается развитие определенных понятий и их иерархических зависимостях, при этом происходит либо обогащение и расширение понятий,  либо образование новых. Для того, чтобы систематизированным знаниям была придана определенная структура, полезно представить полученные результаты обобщения в виде классификационной схемы, сводных таблиц, определенных записей. К составлению таблиц и схем учащихся следует готовить постепенно. На первом этапе учитель демонстрирует готовые схемы и чертежи. После уяснения их основного назначения, существенных признаков их составления учащимся предлагается заполнить схемы и таблицы. Этап самостоятельного составления является завершающим.

При обобщающем повторении на уровне теорий дается определенная трактовка изученным понятиям с позиций тех или иных фундаментальных теорий. Школьники устанавливают общие закономерности, причинно-следственные отношения, обобщают и конкретизируют материал, применяют общие положения к конкретным фактам. Например, при обобщении темы «Производная» учащиеся должны осознать значение понятия производной для самой математики и для других наук. Подбираются задачи. Связанные с такими понятиями как скорость химических реакций, линейная плотность неоднородного стержня, сила тока в цепи, на основе использования производной получают единую трактовку. Понятие производной целесообразно более тесно связать с основными содержательно-методическими линиями школьного курса математики. Так понятие производной может быть использовано при доказательстве тождеств. Эти задачи появляются не как дополнительный объект изучения, а как еще одна иллюстрация метода, основанного на применении производной.

Доказать тождество

Найдем производную функции

. Значит, функция  является постоянной на множестве R. Чтобы определить ее значение, найдем его   в произвольной точке, например, .Тождество доказано.

Обобщающее повторение на уровне теорий освещает полученные знания не только в плане внутрипредметных, но и межпредметных связей, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую трактовку с позиций одной какой либо теории.

Чтобы обобщающее повторение сыграло определенную положительную роль, нужно не эпизодическое, а систематическое, целенаправленное его использование после изучения различных тем, разделов и всего курса.

Для обобщающего повторения в 9 и 11 классах наиболее целесообразным является распределение повторяемых вопросов по содержательно- методическим линиям курса, порядок следования которых позволяет эффективно реализовать связи между темами.

Этому требованию наиболее полно удовлетворяет такой порядок следования линий:

· линия развития понятия числа

· линия тождественных преобразований,

· функциональная линия,

· линия уравнений и неравенств

Можно привести примерное тематическое планирование по урокам повторения.

9 класс

11 класс

Большинство методических пособий предлагает материал к тематическому повторению. Но в журнале «Математика для школьников» появился материал, который вполне пригодится для уроков заключительного повторения в 9 и 11 классах. Например, «Общие методы решения уравнений», или «Метод интервалов», «О функции рассказывает ее график»

Особо хотелось бы остановиться на применении компьютера и новых информационно - коммуникационных технологий в учебном процессе  в плане систематизации и обобщения знаний. У нас в лицее накоплен определенный опыт работы в этом направлении. Компьютерные пособия и Интернет  могут стать источниками получения интересных упражнений комплексного характера, которые могут быть использованы в итоговом повторении. Например, решить уравнение

В его решении оценивается значение функции с помощью известного неравенства, связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое, и доказывается, что . Равенство возможно лишь при условии . Решение этой системы и служит решением исходного уравнения.

Ответ:

Интегрированные уроки математики и информатики позволяют обобщить полученные знания и применить их в нестандартной ситуации, например, при построении графиков с использованием редактора электронных таблиц Excel. Конспект одного из таких уроков представлен на нашей методической выставке.

Широко применяются в учебном процессе методические пособия презентации, созданные в программе Power Point.Сегодня мы можем предложить вам примеры таких презентаций, подготовленных учащимися 11 класса. Помимо компьютерных эффектов в них просматривается взгляд учеников на проблему обобщения и систематизации знаний.  Примеры презентаций.
Особенности систематизации знаний в профильных классах

Обычно уроки обобщения и систематизации знаний проводятся по окончании темы или раздела. Основное их назначение – усвоение связей и отношений между понятиями, теоремами и формированием целостного представления у ученика об изученном материале. Наиболее сложным в таких уроках является выбор средств систематизации и обобщения знаний.

В профильных10-11 классах процесс обучения должен строиться таким образом, чтобы систематизация и обобщение присутствовали на каждом уроке. При обучении в профильных классах логика обобщающих повторений значительно содержательнее логики первоначального изучения учебного материала. Она предполагает выделение связей между блоками главного и второстепенного материала. Основными средствами систематизации должны быть упражнения, выполнение которых основано на актуализации всего комплекса знаний и умений, полученных до 10 класса, подлежащих систематизации; значительная роль должна отводиться упражнениям, ориентированным на углубление и расширение знаний, на применение обобщений в различных конкретных ситуациях, направленным на успешное усвоение вузовского курса математики.