Сайт учителя математики

Векторы и фракталы

Из опыта работы

Б.Мандельброт, основоположник фракталов, в книге <Геометрия природы> писал: < Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега - это не окружности:>   И далее: <Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные>

Современные компьютеры способны создать потрясающие эффекты. Раньше компьютеры ограничивались созданием правильных геометрических форм, но рекурсивная геометрия - новый раздел математики, оперирующий  формами, напоминающими объекты в природе, предоставила возможность создавать математические описания естественных форм, таких как листья, облака, береговые линии. Художники используют компьютеры как для создания эстетически приятных образов реального мира, так и для изображения экстравагантных захватывающих картин, ранее доступных только воображению. Например,

  В современной компьютерной графике широко применяются фракталы. Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, морей, горных ландшафтов. Фракталам подвластны самые невероятные формы, ведь компьютерное искусство фрактальной геометрии не знает границ.

Рассмотрим метод построения фрактальной кривой с помощью компьютера и его математическое обоснование на примере кривой Леви. Базовым элементом для кривой Леви является отрезок AB. Первый шаг включает в себя построение равнобедренного прямоугольного треугольника на отрезке AB как на гипотенузе. При этом сама гипотенуза в дальнейшем построении не участвует и исключается из кривой. Таким образом, первое поколение кривой представляет собой ломаную ACB.

На втором шаге с каждым из отрезков AC и CB проделываем ту же операцию, что и с отрезком AB на первом шаге. Последующие поколения кривой строятся по тому же алгоритму. Следовательно, задача сводится к определению координаты точки  по известным координатам точек A и B.

Вспомогательная задача.

Вектор задан своими координатами . Известно, что  и  Найти координаты вектора .

Решение.

Пусть вектор  имеет координаты .Тогда из условия следует, что . Получим систему уравнений с двумя неизвестными:   .

Рассмотрим второе уравнение системы: , , , , . Возвращаясь к системе, имеем  или .

Таким образом, если  и ,, то  или .

Вернемся к построению кривой Леви.

По свойству прямоугольного равнобедренного треугольника точки A, B,C равноудалены от точки О - середины гипотенузы, . Пусть , тогда точка О как середина отрезка AB будет иметь координаты . Применяя вспомогательную задачу, имеем , . Т.к. , то  или . Нам для построения кривой Леви необходим вектор, направленный <влево> от , т.е. . Если  и , то , .

Значит, .

Поскольку построение фрактальной кривой состоит в генерации поколений по одному и тому же алгоритму, то координаты искомых точек будут определяться по рекуррентной формуле : . Здесь  точка является аналогом точки А, а  - аналогом точки B.

На основании проведенных вычислений мы строим программу вычисления координат точек- вершин фрактальной кривой. Если точку А мы поместим в начало координат, а  точке В присвоим координаты , то в редакторе Mathcad данная программа выглядит следующим образом.

При ее составлении необходимо учесть следующий математический факт, определяющий количество строящихся точек  на каждом шаге.

Вспомогательная задача.

 Если  и ,, то  или

Слайды в формате презентации MS Office, размер 722 kb.

Карпова И.