Сайт учителя математики

Технология подготовки к ЕГЭ

Выступление на семинаре руководителей ШМО учителей математики

Поскольку контроль является неотъемлемой частью учебного процесса, то все происходящее в организации государственного итогового контроля не может не отразиться на организации учебного процесса и промежуточном контроле знаний учащихся, поэтому естественно стремление каждого учителя разнообразить формы контроля, приближать его к тем, которые используются на государственном уровне.

ЕГЭ основан на тестовых технологиях. Тестирование как новая форма экзамена накапливает свой опыт и требует предварительной подготовки всех участников образовательного процесса. Учителям следует активнее вводить тестовые технологии в систему обучения, ведь не зря говорят, что <нельзя научиться плавать, стоя на берегу>. В представленных методических материалах имеются примеры текстов зачетных работ в форме ЕГЭ для учащихся 8, 9, 10 и 11 классов. Тренировки в выполнении тестовых заданий позволят реально повысить тестовый балл. Зная типовые конструкции тестовых заданий, ученик практически не будет тратить время на понимание инструкции. Во время таких тренировок формируются соответствующие психотехнические навыки саморегуляции и самоконтроля. При этом основную часть работы желательно проводить заранее, отрабатывая отдельные детали при сдаче каких-нибудь тематических зачетов, т.е. в случаях не столь эмоционально напряженных. Ученые считают, что психотехнические навыки сдачи экзаменов не только повышают эффективность подготовки к экзаменам, позволяют более успешно вести себя во время экзамена, но и вообще способствуют развитию навыков мыслительной работы, умению мобилизовать себя в решающей ситуации, овладеть собственными эмоциями.

Тесты - промежуточные измерители успешности обучения. Учащимся нужно помочь усвоить некоторые правила работы с ними. Типичная ошибка: школьники не доводят решение задачи до конца и, заметив промежуточный ответ, отмечают его, тем самым дают неверный ответ на вопрос. Поэтому в обучении нужно обратить внимание на необходимость проверять выбранный ответ. Следует проводить итоговые полугодовые тесты, включающие вопросы обобщающего характера. Такие тесты по своему содержанию носят смешанный, а не тематический характер, что позволяет проверить прочность, осознанность, оперативность и другие качества знаний учащихся за длительный промежуток времени. Особое внимание нужно уделять формулировкам, характерным для экзаменационных материалов. Ведь часто непривычная формулировка сбивает с толку даже вполне подготовленного ученика. Важной составляющей работы является сведение к минимуму подобного эффекта неожиданности. Подбирая тренировочные задачи, нужно предлагать возможно большее число вариантов формулировок. Ученик постепенно привыкает к этому разнообразию, учится вдумчиво читать условия, искать неявные смыслы в тексте. Например, при проверке навыка в решении уравнений можно привести примеры таких заданий: <Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения. Найдите сумму, произведение корней уравнения. Найдите сумму наименьшего и наибольшего корней уравнения, принадлежащих заданному промежутку. Укажите наименьший положительный корень уравнения>. Правда, в пояснительной записке к демонстрационному варианту 2005 года отмечается, что <наличие дополнительного условия по сравнению со стандартной формулировкой явно привело к снижению процента выполнения заданий на решение уравнений>. Поэтому в этом году задание на решение уравнения, имеющего конечное количество корней, включено в группу заданий с краткой записью ответа. Значительно отличаются от встречающихся в учебнике формулировки заданий по теме <Производная>, когда по графику производной нужно указать количество, длину промежутков монотонности или указать точки минимума и максимума.

Существуют экзаменационные задачи, у которых грамотный анализ условия уже является сложной логической головоломкой. На уроках алгебры и геометрии в среднем звене основное внимание должно быть направлено на овладение умениями извлекать информацию из условия и требования задачи, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, выводить следствия, переформулировать требования задачи. Поэтому анализ условия решаемой задачи - один из элементов работы учителя.

Тест на ЕГЭ должен быть выполнен не только правильно в, но и в строго отведенное время. Поэтому необходимо помогать учащимся правильно ориентироваться во времени, выполнять задание за указанное время. С этой целью могут применяться так называемые диагностические замеры - небольшие проверочные работы, требующие выполнения всех промежуточных действий <в уме> и фиксирования только окончательного ответа. В каждом <Диагностическом замере> содержится 10 заданий, расположенных по возрастанию степени сложности. 5 первых заданий - одношаговые упражнения базового уровня, 6-8 - посложнее, но еще репродуктивного характера, а 9-10 уже требуют творческого осмысления. Поэтому и критерий оценок выглядит так:

5-7 верно выполненных упражнений - оценка <3>

8-9 -<4>

10 - <5>.

На выполнение работы по усмотрению учителя отводится 1-4 минуты в зависимости от сложности изучаемого материала и степени подготовленности учащихся. Если проводить эту работу систематически, то ребята постепенно к ней привыкают и не задают вопросов организационного плана, в том числе и по выставлению оценки. Проверка правильности выполнения заданий может проводиться с помощью ТСО, а также правильные ответы могут записываться за <крылом> доски или зачитываться.

Само название этого вида работы говорит о том, что результат выполнения этих упражнений позволяет учителю прогнозировать успешность изучения учащимися материала по данной теме и установить уровень усвоения ими опорных задач (например, запоминание и осмысление определения, формулы, алгоритма, табличных значений и т.д.). Без успешного выполнения этого рода заданий невозможно перейти к изучению более сложных вопросов, опирающихся на знание базовых. Например, в 5-6 классах учитель должен постоянно владеть информацией о состоянии техники устного счета и уровне развития вычислительных навыков учащихся. Для контроля над этим направлением проводится <диагностический замер>, состоящий из примеров на вычисление. А в 10 классе при изучении темы <Тригонометрические уравнения> ни один ученик не сможет выполнять сложные задания без знания решений простейших тригонометрических уравнений, которые и включены в диагностические замеры.

Выше сказанное касается контролирующей функции предложенных заданий. Но имеет место и другая, наверное, главная. Эти упражнения призваны формировать у учеников прочные навыки устных вычислений, эффективно развивая при этом внимание, оперативную память - необходимые компоненты успешного овладения школьным курсом математики и подготовки к итоговой аттестации. На выполнение заданий дается ограниченное время, т.о. оттачиваются не только собственно вычислительные навыки, но и формируется <числовая зоркость>, развивается активность мышления и сообразительность.

Эти наборы упражнений можно использовать не только как самостоятельные работы, но и в индивидуальной и групповой работе, слабые учащиеся могут записывать решение полностью.

Вообще, устным упражнениям необходимо уделять внимание на каждом уроке. Организационные формы устного счета на уроках математики разнообразны. При этом могут использоваться индивидуальные пластиковые доски, перфокарты, лото и т. д.

Не любой ученик решит устно задачи (одни предпочитают устное решение, другие нуждаются в рисунке). Картина устных решений всегда пестрая, многообразная и весьма сложная. Однако, установка на устное решение, пусть и не полностью осуществимая, способствует пробуждению и поддержанию желания мыслить, искать, актуализировать имеющиеся знания.

В целях эффективного использования времени на экзамене, нужно также учить школьников приемам быстрого и рационального счета. Например. добиваться применения формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, разложением на множители подкоренного выражения при извлечении квадратного корня, вычислении значения дробного выражения вида Большую помощь учителю может оказать использование в работе математических тренажеров, предназначенных для закрепления навыков счета и усвоения основных алгебраических формул. С примером такого алгебраического тренажера вы можете ознакомиться на нашей выставке.

Тестовая форма аттестации обладает весьма существенными особенностями. Несмотря на довольно простые по содержанию вопросы, около 20% тестируемых ощущают большую психологическую нагрузку от калейдоскопичности тем заданий - мгновенный переход от тригонометрии к логарифмам и т.п. К таким перегрузкам школа не готовит - традиционно в российской школе основной упор делается на качество и логику решения, а не на скорость выполнения. Как говорится в статье < Рекомендации школьникам, сдающим ЕГЭ по математике>, опубликованной в газете <Математика>, < нужны обязательные тренировки>. Схема тренировок такая: дается тема, готовящийся к тестированию 10-15 секунд концентрируется, <собирая> в своей памяти всю информацию по теме. Затем устно проговаривает ее. После 4-5 тем следует провести анализ ошибок, неточностей пробелов. Такие тренировки желательно провести 5-10 раз. Приведем пример такой тренировки по теме <Логарифмические уравнения>.

Шаг 1. Область определения логарифмического уравнения. Выражение под логарифмом больше нуля, основание больше нуля и не равно 1.

Шаг 2. Если основания логарифмов разные, то приводим к одному по формуле (при а > 0, а 1, b> 0, с> 0, с 1).

Шаг 3. Преобразуем (упрощаем) уравнение, пользуясь свойствами логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения, разность - частному и т.д.

Шаг 4. Если можно упростить, введя новую переменную, - вводим.

Шаг 5. Стремимся привести уравнение к виду log_a А(х) = log_a В(х), откуда А(х) =В(х).

Шаг 6. Решаем полученное уравнение и выбираем те корни, которые принадлежат области определения, это и есть ответ.

Список тем можно составить в соответствии с материалом учебников, включая также темы <Проценты>, <Прогрессии>, < Задачи на смеси и сплавы> и по геометрии. Помощниками в составлении таких материалов могут стать, например, составленные на уроке опорные конспекты, справочные материалы в виде таблиц, пособие < Готовимся к ЕГЭ. Математика> издательства <Дрофа>, в котором в начале каждой главы даются основные сведения (математические факты и методы), необходимые для решения системы задач. Например,

Организация такой работы может осуществляться, например, на консультациях.

А на экзамене, приступая к очередному заданию, рекомендуется не сразу решать его, а 10-15 секунд сосредоточиться на теме вопроса, вспоминая все основные определения, свойства, приемы решений и преобразований, последовательность действий.

В обучении школьников доказательству важное место принадлежит формированию стандартов логических рассуждений. Психологи утверждают, что структуры мозга, руководящие аналитической деятельностью, формируются к 13-14 годам. Развитие доказательного мышления проходит две стадии. В собственно подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое отношение к готовым доказательствам и стремление к собственным обоснованиям утверждений. Поэтому самостоятельному доказательству следует предварить обучение учащихся умению анализировать готовые доказательства.

На одних тестах учить математике нельзя, иначе школьники совсем разучатся рассуждать и , в конечном счете, не будут понимать математику вообще. Да и одинаковая оценка выполненного с арифметической ошибкой упражнения и не выполненного вовсе сомнительна. Как известно, в часть 2 включаются задачи, при решении которых учащемуся нужно применить свои знания в измененной (нетипичной ситуации, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Для того, чтобы получить ответ, не следует полностью оформлять задания на черновике. Необходимо на черновике кратко, но понятно для себя изложить решение, записав те ключевые моменты, которые позволят получить ответ. Трудностью этой части является не только возросший уровень сложности предлагаемых заданий, но включений тем 9-летней школы.

В эту часть входят задания, на преобразование выражений, предусматривающие несколько шагов рассуждений. Например, применение тождества в упражнении: найдите значение выражения при , а при преобразовании тригонометрических выражений - одновременное применение нескольких групп формул, например. сложения и приведения: . Традиционным за последние 3 года стало задание на вычисление площади фигуры, ограниченной линиями и нахождение множества значений функции вида , например: Найти множество значений функции на отрезке . К выполнению этих заданий приступают от 4 до 11% учащихся, а число решивших составляет от 2 до 4%. В этой части работы представлены уравнения и неравенства так называемого смешанного типа, в условие которых входят выражения, различные по природе, решаемые с использованием условия равенства нулю произведения и с последующим отбором корней, а также свойств ограниченности или монотонности. Например : Найдите нули функции или Решить неравенство . Такого рода задания встречаются, например, в задачнике А.Г.Мордковича и обойти их вниманием нельзя.

Так называемые текстовые задачи условно можно разбить на следующие основные группы:

· задачи на части и проценты;

· задачи, связанные с десятичной формой записи числа;

· задачи с целочисленными данными;

· задачи на равномерное движение по прямой;

· задачи на сплавы и смеси;

· задачи на работу;

· задачи на бассейны и трубы

Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно некоторые специфические особенности. Например, при решении задач на проценты необходимо повторить с учащимися и проверить усвоение ими следующих трех фактов.

· Если a больше b на p%, то

· Если a меньше b на p%, то

· Если a возросло на p% , то <новое> значение a стало равно

Большую помощь при повторении решения задач на проценты может оказать пособие Г.В. Дорофеева и Е.А. Седовой <Процентные вычисления>, рассчитанное на учащихся 10-11 классов.

В задачах , связанных с десятичной формой записи числа и задачах с целочисленными данными встречается понятие неполного частного и остатка, а также разложение числа по разрядным единицам:

Материал по теме <Прогрессии>, также изучается в 9 классе. Сегодня вам будет предложен урок, на котором вы увидите методику подготовки учащихся к решению задач такого типа, а в приложении вам предложены тексты задач на арифметическую и геометрическую прогрессии двух уровней сложности.

Планиметрия, как известно, не изучается в 10-11 классах, и для того, чтобы успешно справиться с задачами, включенными в ЕГЭ, нужно выделить достаточное время на повторение курса планиметрии, которое не предусмотрено действующей программой. Как отмечается в статье авторов контрольно-измерительных материалов <Задания ЕГЭ по геометрии> опубликованной в журнале <Математика в школе> №3 за 2004 год, <В 11 классе для обобщающего повторения и систематизации знаний и умений учащихся по планиметрии и стереометрии рекомендуется выделить 20 уроков. Весьма важно решать планиметрические задачи в течение всего учебного года. При этом необходимым условием эффективности повторения является связь решаемых планиметрических задач с текущим, изучаемым планиметрическим материалом>. Учителя нашего лицея общие вопросы параллельности и перпендикулярности на плоскости рассматривают при изучении параллельности и перпендикулярности в пространстве. Вопросы, связанные с определениями, свойствами и признаками треугольников и четырехугольников повторяются при изучении тем <Теорема о трех перпендикулярах>, <Призма и пирамида>, затем в 11 классе при изучении элементов тел вращения. Повторение <Окружности и углов, связанных с ней> осуществляем при изучении шара и сферы. Как показывает опыт, одного изложения теоретических фактов явно недостаточно. Перед соответствующим уроком учащимся предлагается дома выписать из учебника определения и теоремы, которые планируется обсудить на уроке, решить несколько несложных 2-3- шаговых задач. В классе решаются <опорные>, более сложные, результаты которых могут быть использованы при решении других задач. А систему упражнений ребята, как правило, рассматривают дома с последующей проверкой на уроке или сверкой с решением, приведенным на стенде в кабинете математики. Вопросы планиметрии включены в программу спецкурсов и консультаций для учащихся 10-11 классов нашего лицея. Как отмечается в аналитических материалах по результатам ЕГЭ за прошлые годы, значительные трудности вызывают задания, в которых требовалось применить свойство отрезков касательных и отрезков пересекающихся хорд, а также вписанных и центральных углов. Более трудным, чем просто последовательное выполнение вычислений, является для учащихся составление уравнений по условию геометрической задачи. Но особенные трудности вызывают случаи, когда при составлении уравнения используется величина, выражающаяся в виде суммы или разности переменной с числом. Например, при решении задачи < Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник>.

При обобщающем повторении курса планиметрии необходимо сообщить учащимся ряд дополнительных теоретических фактов или приемов решения, на которые , как правило не обращается внимание в 7-9 классах, но без знания которых решение задачи может оказаться затруднительным или займет больше времени. Например, использование приема удвоения медианы треугольника и замены данного треугольника равновеликим при решении задачи. <Две стороны треугольника равны 13 и 15, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 7. Найдите площадь треугольника.

Полезным бывает и решение комплексных задач, т.к. во время изучения планиметрического материала в 7-9 классах такой возможности не представляется. Например, в задаче <четырехугольник ABCD вписан в окружность, AB=3, CD=7. Прямые AB и CD пересекаются в точке M, причем CM=2. Найдите BM. В этой задаче признак подобия треугольников <высвечивается> после использования свойства вписанных в окружность углов. Т.о. Для успешной организации повторения планиметрии учителем должна быть продумана система задач, пример которой предложен на нашей выставке. Другие полезные советы по повторению планиметрии можно взять из статьи Т.М. Мищенко <Заключительное повторение курса планиметрии>, опубликованной в журнале <Математика в школе> №3 за 2004 год.

В соответствии с назначением и особенностями задач высокого уровня сложности и требованиями к математической подготовке учащихся, достижение которых проверяется этими заданиями, в решениях фиксируются следующие моменты, характеризующие полноту и правильность решения:

· Конечный результат, полученный при верном ходе решения,

· выполнение промежуточных преобразований, вычислений,

· обоснование выводов (шагов), приводящих к правильному ответу,

· логика решения.

Задача считается выполненной верно, когда получен правильный ответ при достаточно полном объеме обоснований, которые потребовались при переходе от исходных данных к конечному ответу.

При проверке работ учитываются требования к их оформлению, изложенные в следующей литературе:

Дорофеев Г. В. Оценка решений стандартных задач в старшей школе//Математика в школе. - М. :1999 - №2 с 2-6; №3.- С. 9-12

Дудницын Ю.П. Смирнова В. К. Содержание и анализ письменных экзаменационных работ по алгебре и началам анализа. - М. Просвещение,1997

Пигарев Б. П. Пронина Е. Б. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы. Условия и решения. - М.: Школьная пресса, 2001

Например, необходимо обосновывать решение неравенств, ссылаясь на монотонность соответствующих функций, объяснять возможность деления обеих частей уравнения на выражение с переменной, отмечать свойство непрерывности функции при нахождении ее множества значений.

Приведем примеры некоторых рекомендаций при выполнении конкретных заданий 3 части.

Решите систему уравнений

В заключение отмечу, что задания с параметрами традиционно представляют для учащихся сложность в логическом, техническом и психологическом плане. Однако, именно решение таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале. Решению таких задач надо обучать специально. Этому вопросу должны быть посвящены внеклассные занятия уже в 8-9 классах.

Знать школьный курс математики - значит владеть материалом каждого из основных направлений: выражения и преобразования, уравнения и неравенства, функции, числа и вычисления, геометрические фигуры и их свойства, измерение геометрических величин, быть в состоянии актуализировать любое из них в любое время, чтобы достичь этого, нужно систематически обращаться к каждому из них. С этой целью необходимо

· решать устные задачи, в которые входят задания многих направлений,

· рассматривать более сложные, комплексные задачи, подобранные таким образом, что решение каждой из них требует обращения ко многим направлениям, а все задачи из каждого набора в совокупности отражают все направления,

· проведение исследований, составление наборов таких задач, при решении которых явным образом используются основные мыслительные операции - анализ и синтез, индукция и дедукция, сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация

Общие методы решения, их классификация - мощное средство скрепления основных направлений курса. Систематизирующее воздействие будет эффективнее, если придерживаться следующих советов:

· Перед каждой темой проводить вводные уроки, открывающие перспективу ее изучения, а после изучения темы- уроки систематизации, обобщения, углубления математических знаний.

· Включать в проверочные работы задачи по любому из ранее изученных материалов, практиковать систематически работы с задачами из многих направлений

· Искать и использовать разнообразные основания для обсуждения и объединения разнородных направлений в одну укрупненную дидактическую единицу.

В процессе обучения математике важное место отводится организации повторения изученного материала. Необходимость повторения обусловлена задачами обучения, требующими прочного и сознательного овладения им. Указывая на важность процесса повторения учебного материала, современные исследователи показали значительную роль при этом таких дидактических приемов как сравнение, классификация, анализ, синтез, обобщение, содействующих интенсивному протеканию процесса запоминания. При этом вырабатываются гибкость, подвижность ума, обобщенность знаний.

В процессе повторения память у учащихся развивается. Эмоциональная память, опирающаяся на наглядно-образные процессы, постепенно уступает памяти с логическими процессами мышления, которая основана на умении устанавливать связи между известными и неизвестными компонентами, сопоставлять абстрактный материал, классифицировать его, обосновывать свои высказывания.

Повторение учебного материала по математике осуществляется во всей системе учебного процесса: при изложении новых понятий, при закреплении изученного ранее, при организации самостоятельных работ различных видов и т. д. Без постоянного обращения к основным направлениям школьного курса невозможна его систематизация. А без нее невозможно полноценное осуществление идеи развивающего обучения школьников математике.

Цель повторительно - обобщающих уроков: научить старшеклассника мыслить и оперировать математическими знаниями, определяемыми документами обязательного стандарта, не оставив при этом без внимания старшеклассников,которым математика интересна как наука, требующая полета фантазии и оригинальности мышления. Формирование теоретического мышления осуществляется при различных применениях обобщений. Обобщение нередко осуществляется путем выделения одинакового математического содержания для различных задач. Составление математической модели - это наиболее распространенный вид обобщения. Он состоит в переводе происходящих в действительности процессов на язык математики. При подготовке к ЕГЭ для обобщающего повторения в конце года должен быть отобран самый важный материал с точки зрения общеобразовательной ценности, упражнения комплексного характера. Наиболее целесообразным является распределение повторяемых вопросов по содержательно- методическим линиям курса, порядок следования которых позволяет эффективно реализовать связи между темами. Этому требованию наиболее полно удовлетворяет такой порядок:

Ø Линия развития понятия числа,

Ø Функциональная линия,

Ø Линия тождественных преобразований,

Ø Линия уравнений и неравенств.

На этих уроках полезно практиковать самостоятельное составление упражнений по образцу заданий, например, Демонстрационного варианта. С одной стороны, такое умение учащегося является определенной гарантией успешного решения задач, а с другой, соответствующая деятельность носит ярко выраженный творческий характер. Погружаясь в нее, обучаемый начинает активно усваивать новые приемы получения математических знаний, понимать их подвижность и видеть не только природу, но и механизм их развития. К тому же самостоятельное составление упражнений по образцу заставляет школьников еще раз проанализировать и запомнить формулировки заданий. В представленных сегодня материалах есть задания, составленные учащимися самостоятельно.

В заключение отметим, что кроме подготовки по предмету, важно обеспечить правильную мотивацию учащихся к участию в ЕГЭ. Каждый ученик должен четко понимать, что для него важно при сдаче ЕГЭ. От выбранной цели зависит подготовка к ЕГЭ и стратегия его сдачи.