Сайт учителя математики
Из опыта работы
Глава I. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ§1. Понятие о математических моделях
Если попытаться одной фразой ответить на вопрос: <Каким образом современная математика применяется к изучению физических, астрономических, биологических, экономических, гуманитар-ных и других явлений?>, то ответ будет таким: <С помощью пост-роения и анализа математических моделей изучаемого явления>. Что же такое математическая модель?
У каждого из нас слово "модель" вызывает различные ассоциации. У одних - это действующие модели роботов, станков, кораблей, у других - муляжи животных, внутренних органов человечес-кого организма, у третьих - модель самолета, продуваемая пото-ком воздуха в аэродинамической трубе.
Иногда вместо слова "модель" употребляются иные слова: "макет", "копия", "слепок" и другие. Однако во все эти слова вкладывается приблизительно один и тот же смысл - он состоит в том, что сложное, многофанное явление реального мира заменяется его упрощенной схемой.
Среди множества всевозможных моделей особую роль играют математические модели. Так называют приближенное описание какого-либо явления внешнего мира, выраженное с помощью математической символики и заменяющее изучение этого явления исследованием и решением математических задач. Таким образом, математика применяется не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели.
Изучение явлений с помощью математических моделей называется математическим моделированием. Схематически процесс мате-матического моделирования представлен в следующей таблице:
Хорошо построенная математическая модель обладает удивительным свойством - ее изучение дает новые, неизвестные ранее знания об изучаемом объекте или явлении.
Пример 1. В 1846 г. французский астроном У.Ж.ЖЛеверье (1811 - 1877) открыл новую планету Солнечной системы и назвал ее Нептуном. Открытие этой планеты было сделано чисто математически., путем вычислений, так сказать, "на кончике пера". Анализируя созданную И.Кеплером и И.Ньютоном модель движения планет Солнечной системы, ученые обнаружили, что фактическая траектория движения планеты Уран отклонялась от теоретически вычисляемого движения. Ж.Леверье предположил, что "возмутителем порядка" является неизвестная планета, которая воздействует на планету Уран. Пользуясь моделью Солнечной системы, он определил массу и закон движения новой планеты, так что все противоречия в движении планеты Уран были сняты.
Немецкий астроном И.Г.Галле в 1846 г. наблюдал новую планету в точно указанном Леверье месте.
Аналогичным методом, благодаря использованию расхождения теоретически вычисленной траектории Нептуна с наблюдаемой, в 1930 г. была открыта еще одна планета Солнечной системы, названная Плутоном.
Пример 2. Знаменитый английский физик Дж. К. Максвелл (1831 - 1879), изучая построенную им математическую модель классической электродинамики, из анализа уравнений модели предсказал существование электромагнитных волн, которые по-зднее были экспериментально обнаружены немецким физиком Г.Р.Герцем (1857 - 1894).
Пример 3. Русский ученый А.А.Фридман (1888 - 1925), анализируя уравнения общей теории относительности, составленные А.Эйнштейном (1879 - 1955), в 1922 г. обнаружил, что кроме решений, не зависящих от времени, уравнения А.Эйнштейна имеют еще и другие решения, которые от времени зависят. Это привело к открытию того, что Вселенная расширяется и сжимается, т.е. пульсирует. Представление о пульсировании Вселенной стало основой всей современной космологии.
Математические модели, с помощью которых исследование явлений внешнего мира сводится к решению математических задач, занимают ведущее место среди других методов исследования и позволяют не только объяснить наблюдаемые явления, как это было, например, с движением планеты Уран, но и заглянуть туда, где еще в принципе не могло быть опытных, экспериментальных данных. Именно так было при проведении первых атомных и водородных взрывов. И это еше не все. Существуют сферы человеческой деятельности, где проведение экспериментов, получение экспериментальных результатов принципиально невозможны!
Например, невозможно экспериментировать над озоновым слоем Земли. Невозможно определить меру антропогенного воздействия на ноосферу, достаточную для ее разрушения, - неизвестно, найдется ли в этом случае на Земле место для человечества.
Развитие математического аппарата и внедрение мощных современных компьютеров позволили математическому моделированию, успешно зарекомендовавшему себя в технике, физике, астрономии и космологии, проникнуть сегодня практически во все области человеческой деятельности - в экономику и биологию, экологию и лингвистику, медицину и психологию, историю, социологию и т.д. По мере усложнения объектов исследования роль математических моделей изучаемых явлений существенно возрастает. Появляется целая иерархия математических моделей, каждая из которых описывает изучаемое явление глубже, полнее, всестороннее.
Карпова И.
| книга записей | admin@matica.info |
